J’ai mieux compris l’idée :
On voit que plus x augmente et se rapproche de 1/2c, plus le temps pour doubler la production est long, jusqu’à tendre vers l’infini. Or les individus étant mortels, il y a une limite physique pour x.
Je veux donc calculer le nombre maximal d’unités relatives x (correspondant à un temps t1), pour lequel l’individu pourra voir sa production doubler, compte tenu de son espérance de vie.
Ce nombre x est donc maximal dans l’hypothèse d’un individu entré dans la monnaie à sa naissance, et sa production aura doublé pile au moment où il meurt.
On a donc
(t1-to) + 1/c ln[(1-cx)/(1-2cx)] = ev
avec :
x(t1-to)=1/c [1-exp(-c(t1-to))]
Soit : (t1-to) = -1/c ln (1-cx)
D’où :
-1/c ln (1-cx) + 1/c ln[(1-cx)/(1-2cx)] = ev
-1/c ln (1-2cx) = ev
Soit :
x = (1/2c) [1-exp(-c.ev)]
Et avec x = (1/c) (1-exp(-c(t-to)]
Cela donne aussi le temps correspondant (je n’ai pas mis les calculs intermédiaires) :
t1-to = 1/c ln[1-1/2 (1-exp(-c.ev)]
Compte tenu de l’espérance de vie humaine “ev”, le doublement des unités relatives produites n’est pas possible après t1 tel que
t1-to = - 1/c ln[1-1/2 (1-exp(-c.ev))]
t1-to = - 1/c ln[1 - 1/2 (1-1/(ev/2)²) ] avec c = ln(ev/2)/(ev/2)
De même, le doublement des unités relatives produites n’est pas possible au-delà d’un nombre d’unités déjà produites de :
x = 1/2 1/c [1-exp(-c.ev)]
x = 1/2 1/c [1 - 1/(ev/2)²] avec c = ln(ev/2)/(ev/2)
A suivre …
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