Pour comprendre simplement la démonstration de DUĞ = DU(t+1) = DU(t) + c² (M/N)(t)
Par définition DU est la variation de M/N avec : (M/N)(t+1) = (M/N)(t) + DU(t)
Il suffit de multplier par “c” les termes de cette égalité, on obtient : (E) : c*(M/N)(t+1) = c*(M/N)(t) + c*DU(t)
Or on a aussi de façon évidente les égalités :
- c*(M/N)(t+1) = DU(t+1) (1)
- c*(M/N)(t) = DU(t) (2)
- DU(t) = c*(M/N)(t) (3)
On remplace (1), (2) et (3) dans (E) et on obtient donc au final : (E) : DU(t+1) = DU(t) + c² (M/N)(t)
L’avantage de cette formulation étant de tenir compte des variations de “N” tout en assurant une grande stabilité à l’évolution du DU(t), même en cas de grande secousse, puisque si N diminue d’un facteur 1/c (facteur 10 pour c = 10%), le DU(t+1) ne variera que d’un facteur 2, et si N augmente d’un facteur 1/c le DU(t+1) restera toujours légèrement au dessus de DU(t).
On appelle cette formulation “approximation du second ordre”, alors que DUA, DUB et DUC sont des “approximations du premier ordre”.
Plus l’ordre d’une approximation est élevé plus la formulation sera compliquée, mais aussi plus elle sera juste. Toutefois on démontre aussi que si le pas de calcul est très fin, (l’unité de temps est “petite”, ou le “c” de calcul est “petit”) plus une approximation donnée sera juste aussi.
On remarquera que le graphe de DUĞ lisse les variations avec souplesse, tandis que les approximations du 1er ordre, soit ne tiennent pas compte des variations de “N”, soit montrent des “angles aigus” lors du retour à la normale.