Formule alternative pour le DU

[Paulart]

@Galuel

Qui plus est, je suis assez d’accord au final pour choisir la formule DUB personnellement DU(t+1) = (1+c)*DU(t), elle a pour avantage d’être la plus simple, de garder la continuité du DU, et elle est sans doute préférable pour ces deux raisons.

-Alors je vois l’évolution des courbes oui, mais si un DU a toujours besoin du DU précédent pour être calculé, qu’en est il du premier DU lors de l’initialisation? Dans les tableurs, le premier DU est inscrit “comme ca”. et ensuite, ils sont calculés par rapport au DU(t-1).

• Et il doit me manquer un élément de compréhension, mais N n’est pas pris en compte du coup dans le calcul du DU mais dans (M) ? Dans un cas de chute de N, le DU sera donc le même que si N était stable, mais co-crée par moins d’individus c’est ça? Donc M va se voir augmenter en quantitatif de moins d’unités, Mais le DU d’après, repartira encore du dernier DU.

@Galuel

Pour comparer des mesures d’objets qui varient en taille entre eux, il faut une unité de mesure qui ne soit pas définie sur la variation de ces objets. Si on considère des économies comparables, subissant des variations de N identiques, seul M/N peut servir de mesure valide, cf comparaison relative.

@Anoa

Ce DU ne dépendrait donc pas du nombre d’utilisateurs ni de la masse monétaire quantitative, mais seulement de lui-même.

Et, je n’ai pas compris les différents calculs de M/N et de N dans les tableurs @Galuel

M/N(t)= M/N (t-1) + DU(n-1) des fois… et je ne comprends pas
Et sinon
M/N(t) = (M/N (t-1) + DU(n-1)) * N(t-1)/N
→ là ok, je comprends que l’on multiplie la moyenne précédente par un ratio de changement de N d’une année à l’autre ( désolé pour le vocabulaire…)

Mais par contre le calcul de N pour la simulation m’est complètement étranger!
Est-il possible d’avoir une explication de cette formule svp?
N= N(t-1) * (0,99+0,1COS(23,14*année/10))
Pourquoi inclure l’année??

Et pour le coup, je suis plutôt d’accord avec ça.

@cgeek

En quelques années tu veux dire ? Et puis si d’un coup le nombre d’utilisateurs diminue fortement, on peut se demander si l’important ce sont les chiffres sur un compte, ou plutôt de savoir qui va encore accepter cette monnaie, non ?

Il me manque un peu de logique mathématique là.

Super discussion néanmoins.

[cgeek]

@Paulart

Il me manque un peu de logique mathématique là.

Hé bien quand Anoa dit “le DU explose” et “mon compte baisse fortement en quelques jours”, je dis que l’échelle de temps de l’explosion avec dégâts se compte en années, pas en jours.

C’est d’autant plus vrai que, même si N(t+1)=N(t)/10 par exemple, seul (1/10) x N(t) des membres vont produire le DU suivant, donc les comptes précédents la diminution ne vont pas se voir noyés sous la monnaie.

[Paulart]

@cgeek

C’est d’autant plus vrai que, même si N(t+1)=N(t)/10 par exemple, seul (1/10) x N(t) des membres vont produire le DU suivant, donc les comptes précédents la diminution ne vont pas se voir noyés sous la monnaie.

Ok. Donc M va varier différemment car moins d’individu auront crée un DU. Mais du coup, si N=2 au bout de quelque temps alors , chaque individu va créer un DU important par rapport à M…
J’ai du mal à voir le truc.
Car la TRM dit bien que pour comprendre “la valeur” que peut avoir une monnaie, alors il faut la regarder par rapport au nombre d’individus qui l’utilisent (ce que je comprend) et la masse monétaire.
Mais là je ne vois pas.

[cgeek]

@Paulart

N=2 au bout de quelque temps alors , chaque individu va créer un DU important par rapport à M…

Si N >> 2 au début (genre N = 100), avec la formule DUB(t+1) = (1+c)(DU(t)), alors si N chute de 100 à 2, non, les 2 individus restants ne vont pas produire un DU important par rapport à M, ils vont juste produire un DU c% supérieur au précédent. Par contre avec DUA, oui, le DU aurait été très important.

Je crois que je vais refaire les simulations données dans ce topic, car j’ai écouté sans vérifier par moi-même et j’ai accepter d’utiliser DUB, mais je suis perplexe face à cette disparition de M et N.

[Anoa]

@Paulart

Car la TRM dit bien que pour comprendre “la valeur” que peut avoir une monnaie, alors il faut la regarder par rapport au nombre d’individus qui l’utilisent (ce que je comprend) et la masse monétaire. Mais là je ne vois pas.

C’est bien ça : la valeur d’une monnaie – et le potentiel d’achat des utilisateurs – dépend de M/N. Mais caler le DU exactement sur M/N poserait problème, car si par exemple N augmente fortement alors le DU ne vaudra plus grand chose, et les gens se diront “mais où est le DU ?” (enfin ça c’est mon point de vue utilisateur ; les pros de la TRM l’expliqueront sans doute autrement).

C’est pourquoi Galuel propose dans la TRM de plutôt faire DU(t) = MAX [ DU(t-1) ; c × M(t-1) / N(t) ], afin que le DU ne puisse pas baisser, seulement rester stable ou monter. Déjà là on dissocie le DU et la valeur de la monnaie : ça ne se suit pas exactement lorsque N augmente. Et moi j’ai proposé d’aller un peu plus loin (ce qui est aussi mentionné dans la TRM mais pas mis en avant), de dissocier encore un peu plus afin que la croissance du DU soit parfaitement exponentielle dans tous les cas, qu’elle ne soit pas perturbée par les variations de N. Le DU s’éloigne de la valeur de la monnaie quand N varie, mais ça retourne progressivement à la normale quand N devient plus stable.

[Galuel]

@Anoa

C’est pourquoi Galuel propose dans la TRM de plutôt faire DU(t) = MAX [ DU(t-1) ; c × M(t-1) / N(t) ], afin que le DU ne puisse pas baisser, seulement rester stable ou monter. Déjà là on dissocie le DU et la valeur de la monnaie : ça ne se suit pas exactement lorsque N augmente. Et moi j’ai proposé d’aller un peu plus loin (ce qui est aussi mentionné dans la TRM mais pas mis en avant), de dissocier encore un peu plus afin que la croissance du DU soit parfaitement exponentielle dans tous les cas, qu’elle ne soit pas perturbée par les variations de N. Le DU s’éloigne de la valeur de la monnaie quand N varie, mais ça retourne progressivement à la normale quand N devient plus stable.

Cette formulation est très bonne. Toutefois la formulation DUB a pour compensation d’être plus simple. Or on ne peut négliger la simplicité dans une approche. Plus c’est simple mieux c’est. Donc même si on perd un tout petit peu d’efficience calculatoire, on gagne en retour une très grande clarté et simplicité d’explication de la formulation.

@cgeek

mais je suis perplexe face à cette disparition de M et N.

On ne peut pas vraiment dire que M et N disparaissent, car M(t+1) = M(t) + N(t) * DU(t), et donc DU(t) = [M(t+1) - M(t)] / N(t). Car on parle ici du DU individuel, donc on a bien une masse de N*DU à gérer.

@Paulart

Car la TRM dit bien que pour comprendre “la valeur” que peut avoir une monnaie, alors il faut la regarder par rapport au nombre d’individus qui l’utilisent (ce que je comprend) et la masse monétaire. Mais là je ne vois pas.

Ce point est difficile et fait appel à des mathématiques (ou de la physique) de bon niveau pour la comprendre… Comme les principes qui sont :

• Une petite variation peut-être considérée comme négligeable
• Une somme de petites variations négligeables peut mener à des écarts non-négligeables
• Une somme de petites variations négligeables peut mener à des écarts tout aussi négligables

MAIS, pour comprendre sans avoir fait de maths ou de physique évolués qui permettent de voir assez rapidement le sujet, on peut tout simplement procéder à des SIMULATIONS NUMERIQUES.

Donc Tableur => variation du nombre d’individus, visualisation et compréhension. Penser à rester dans des cas “moyens” car toute formulation du DU pourra toujours s’avérer insuffisantes dans des cas extrêmes. Il faut aussi voir les effets non pas sur 1 jour, sur 6 mois ou 2 ans mais sur 10 ans, 20 ans.

Sans faire ce travail l’inuitiion ne mène nulle part, l’approche rigoureuse demande à savoir manier les fonctions et les nombres avec rigueur.

@Paulart

Est-il possible d’avoir une explication de cette formule svp? N= N(t-1) * (0,99+0,1COS(23,14*année/10)) Pourquoi inclure l’année??

Car il s’agit d’un modèle de variation de N année après année. Là encore il suffit de poser cette formulation dans un tableur, de voir la courbe et on comprend ce qu’est cette simulation.

@Paulart

M/N(t)= M/N (t-1) + DU(t-1) des fois… et je ne comprends pas

C’est la base. Le DU est la variation de M/N d’un moment au moment suivant.

[Galuel]

Allez je vous livre la dernière trouvaille de calcul du DU :

DU(t+1) = DU(t) + c² M(t)/N(t)

Je la gardais au chaud celle là, car elle resemble étrangement à pas mal de formules de physique… si on fait quelques analogies. A noter aussi que, sachant que c est “petit” on comprend aussi que c² est “très petit” et que donc la variation du DU est elle-même quelque chose de “petit” (M/N étant “grand”, et c² “très petit”, alors “très petit” fois “grand” = “petit”)…

Sans doute la meilleure formule possible, puisqu’on voit ici immédiatement à l’oeil : “le DU ne baisse jamais, et croît comme une exponentielle si N est stable”. Enfin, “à l’oeil”, disons “à l’oeil du mathématicien”.

Je crois qu’on peut dire sans se tromper : “c’est élégant” !

DUĞ = DU(t+1) = DU(t) + c² M(t)/N(t)

[Paulart]

@Galuel

On ne peut pas vraiment dire que M et N disparaissent, car M(t+1) = M(t) + N(t) * DU(t), et donc DU(t) = [M(t+1) - M(t)] / N(t). Car on parle ici du DU individuel, donc on a bien une masse de N*DU à gérer.

Ok effectivement.
Donc, ca veut dire que :
[M(t+1) - M(t)] / N(t) = (1+c) DU(t)

Car DU(t)= [M(t+1) - M(t)] / N(t)
Et aussi DU(t) = (1+c) DU(t)

@Galuel

Donc Tableur => variation du nombre d’individus, visualisation et compréhension. Penser à rester dans des cas “moyens” car toute formulation du DU pourra toujours s’avérer insuffisantes dans des cas extrêmes. Il faut aussi voir les effets non pas sur 1 jour, sur 6 mois ou 2 ans mais sur 10 ans, 20 ans.

Ca je veux bien mais je ne comprends pas mathématiquement
N= N(t-1) * (0,99+0,1COS(23,14*année/10))

Donc j’ai du mal a comprendre la variation de N.

@Galuel

Je crois qu’on peut dire sans se tromper : “c’est élégant” !

DUĞ = DU(t+1) = DU(t) + c² M(t)/N(t)

Clin d’Oeil à Dirac sur la beauté d’une formule, riche en invariant?

[Galuel]

@Paulart

Et aussi DU(t)= c* DU(t-1)

DU(t) = (1+c) DU(t)

@Paulart

Ca je veux bien mais je ne comprends pas mathématiquementN= N(t-1) * (0,99+0,1COS(23,14*année/10))

COS(a) = cosinus(a) où “a” est un angle exprimé en radians (un 1/4 de cercle représente un angle de 3,14/2 = PI/2 radians)

cos(2PI/10 * années) donne le cosinus d’un angle qui, année après année, augmente de 2PI/10, c’est une fonction périodique, ce qui normalement est une notion qui doit parler à un ingénieur du son !

[Paulart]

@Galuel

DU(t) = (1+c) DU(t)

Oui oui pardon. Je vais rectifier dans le post avant alors pour éviter les confusions.

@Galuel

COS(a) = cosinus(a) où “a” est un angle exprimé en radians (un 1/4 de cercle représente un angle de 3,14/2 = PI/2 radians)

cos(2PI/10 * années) donne le cosinus d’un angle qui, année après année, augmente de 2PI/10, c’est une fonction périodique, ce qui normalement est une notion qui doit parler à un ingénieur du son !

Ok, merci de l’explication, je vais essayer de m’en débrouiller.
Mais j’ai tendance à faire plus de musique que de maths de base, alors le retour au source n’est pas fluide !

[Galuel]

Etant donné que DU = (M/N)’ = c*MN alors DU’ = (M/N)’’ = c² M/N

Ce qui signifie que la dérivée du DU est c² M/N (pour N stable). Et que donc pour N « instable » si on calcule sur un pas petit pour le DU (équivaut à un pas où la variation du DU sera petite, comme « par jour » = 0,027% / jour alors que « par an » c’est 10% / an, qui est déjà petit), on lissera parfaitement les bonnes variations du DU, tout en restant proche du DU « en cours ».

Donc DU’ = DU(t+1) - DU(t) => DU(t+1) = DU(t) + c² M/N est la meilleure approximation qui suit les variations de « N », car elle garde le maximum de continuité avec le DU « en cours », tout en s’ajustant aux variations de « N », la formulation étant mathématiquement plus simple que le DUA = Max(DU; c*M/N), et évite les discontuinité fortes. Notez que par exemple une baisse de N d’un facteur 10 ne fait varier DUĞ que d’un facteur 2 ! Alors que DUA s’envole, ou que DUB ne bronche pas (totalement insensible aux variations de « N »).

Ce qu’on voit dans les graphes sur la modélisation suivante : DUABCĞ.ods (72,1 Ko)

Chacun pourra ainsi vérifier que ce soit en relatif M/N ou en relatif DU, et estimer la formulation qui s’adapte au mieux aux variations de N.

DUĞ est imbattable en terme de parcimonie, adaptablité, simplicité. Elle est très facile à expliquer et à comprendre en sus. Sa formulation faisant apparaître c² qui est « très petit », fait saisir l’importance de la notion de « petites variations » essentielle à comprendre pour intégrer au plus profond le principe démonstratif de la TRM.

[Galuel]

Même simulation affichée cette fois en DU (et plus en % M/N) : DUABCĞ-DU.ods (73,8 Ko)

On notera pour DUĞ le lissage que cela induit pour la fonction, qui réalisant une approximation d’ordre 2 évite les angles aigus (ce que l’on verrait d’autant plus que le pas de calcul du DU serait plus petit, ici tous les ans seulement).

[Galuel]

Est-il alors possible d’avoir une formulation du DU en c³, en c⁴, en c⁵ !? Oui bien sûr, mais ça ce complique dès c³ :

Puisque DU’ = c² M/N pour la même raison on aura DU’’ = c³ M/N

Et DU’’ = DU’(t) - DU’(t-1) = [DU(t) - DU(t-1)] - [DU(t-1) - DU(t-2)] = DU(t) - 2DU(t-1) + DU(t-2)

Et de manière générale nous aurons DU(dérivée nième) fonction des coefficients binomiaux de DU(t-1), DU(t-2)… DU(t-n) et de c^n M/N, voir à ce sujet “dérivée d’ordre n”.

D’où DU(t) = 2 DU(t-1) - DU(t-2) + c³ M/N

Moins simple, à expliquer, comprenant plus de membres dans la formule, mais tout à fait juste et plus précis !

Alors que sont véritablement DUA, DUB, DUC in-fine !? Ce sont des approximations d’ordre 1 des variations du DU, elles sont donc moins précises que l’approximation d’ordre 2 DUĞ, qui elle même sera moins précise que l’ordre 3, puis l’ordre 4 etc…

[Anoa]

Intéressant. Est-ce que tu peux aussi poster la courbe de N, qui m’aiderait à mieux comprendre ?

[Galuel]

@Anoa

Est-ce que tu peux aussi poster la courbe de N, qui m’aiderait à mieux comprendre ?

Tu l’as dans le fichier Calc. Tu peux en simuler d’autres.

[Galuel]

Pour comprendre simplement la démonstration de DUĞ = DU(t+1) = DU(t) + c² (M/N)(t)

Par définition DU est la variation de M/N avec : (M/N)(t+1) = (M/N)(t) + DU(t)

Il suffit de multplier par “c” les termes de cette égalité, on obtient : (E) : c*(M/N)(t+1) = c*(M/N)(t) + c*DU(t)

Or on a aussi de façon évidente les égalités :

• c*(M/N)(t+1) = DU(t+1) (1)
• c*(M/N)(t) = DU(t) (2)
• DU(t) = c*(M/N)(t) (3)

On remplace (1), (2) et (3) dans (E) et on obtient donc au final : (E) : DU(t+1) = DU(t) + c² (M/N)(t)

L’avantage de cette formulation étant de tenir compte des variations de “N” tout en assurant une grande stabilité à l’évolution du DU(t), même en cas de grande secousse, puisque si N diminue d’un facteur 1/c (facteur 10 pour c = 10%), le DU(t+1) ne variera que d’un facteur 2, et si N augmente d’un facteur 1/c le DU(t+1) restera toujours légèrement au dessus de DU(t).

On appelle cette formulation “approximation du second ordre”, alors que DUA, DUB et DUC sont des “approximations du premier ordre”.

Plus l’ordre d’une approximation est élevé plus la formulation sera compliquée, mais aussi plus elle sera juste. Toutefois on démontre aussi que si le pas de calcul est très fin, (l’unité de temps est “petite”, ou le “c” de calcul est “petit”) plus une approximation donnée sera juste aussi.

On remarquera que le graphe de DUĞ lisse les variations avec souplesse, tandis que les approximations du 1er ordre, soit ne tiennent pas compte des variations de “N”, soit montrent des “angles aigus” lors du retour à la normale.

[Anoa]

Pour ceux qui ont besoin de voir comment le nombre d’utilisateurs varie dans la simulation de Galuel, voici la courbe :

DUĞ semble en effet un bon compromis entre les montagnes russes de DUA et l’insensibilité de DUB.

Pour ma part je reste attaché à DUB pour la raison que j’ai déjà citée : les comptes exprimés en nombre de DU convergent toujours vers 1/c de manière parfaitement prévisible. Les utilisateurs ne verront pas leur compte monter tout seul alors qu’ils sont pourtant au dessus de 1/c, ni baisser alors qu’ils sont en dessous. Bon je sais que ça se fait sur des années, mais quand même, je suis pour que les utilisateurs qui regardent leurs comptes sur une longue période aient une impression de grande prévisibilité pour qu’ils ne se sentent pas arnaqués… même si en réalité on perd un peu en cohérence par rapport à la valeur de la monnaie.

Mais bon, peut-être que je me trompe et que les gens accepteront que les variations du nombre d’utilisateurs influent sur leur compte ? DUĞ me fait quand même moins peur que DUA.

Les graphes suivants n’utilisent pas le vocabulaire conventionnel : ici c=V, M=T et N=U. À gauche ce sont les comptes relatif au DU, et à droite ce sont les potentiels d’achat des comptes (qui tiennent compte de la valeur de la monnaie).

[jeanferreira]

C’est l’éternelle question. Le peuple veut être rassuré ou il veut-il la vérité?
Pour ma part, je préfère la vérité. Il faudra bien un jour devenir une civilisation adulte.
En tout cas ton coup de pied dans la fourmilière aura relancé la réflexion sur une formule qui serait peut être pour longtemps encore le DUA. Rien que pour ca, merci.
Quand à Ğaluel, bravo pour cette formule élégante. (Même si je n’ai pas un grand sens esthétique en maths )

[cgeek]

On aurait pu garder DUA sans que ça ne choque personne, en fait. Ces derniers temps, on parle beaucoup de convergence des comptes, de problématique de comptage en unité DU, de problèmes pour la comptabilité telle qu’on la réalise aujourd’hui, de croissance exponentielle du quantitatif, etc.

Mais personnellement je vous le dis : quelle perte de temps ! L’euro a doublé de masse monétaire en 10 ans sans que ça ne choque personne, ni que cela remette en cause les principes de comptabilité en quantitatif euro.

Dans les faits, la masse monétaire ne doublera que tous les 7-8 ans, c’est une variation lente et quasi imperceptible, sensiblement comme l’euro justement. Doit-on aussi rappeler les changements d’échelle intervenus dans le passé, tels l’ancien Franc vis-à-vis du nouveau ?

La formule, c’est intéressant, oui. Mais rien n’a changé fondamentalement depuis le début !

[Anoa]

@cgeek

L’euro a doublé de masse monétaire en 10 ans sans que ça ne choque personne

Moi ça me choque et je suis loin d’être le seul. La montée des prix – notamment due à la croissance de la masse monétaire – préoccupe beaucoup de gens. Quand ils regardent dans le passé et voient l’évolution des prix jusqu’à aujourd’hui, ça leur fait bizarre et ils se sentent arnaqués, trahis. Et ils ne vont pas souvent jusqu’à la comparer avec la montée des minimums sociaux ou du salaire médian pour voir s’ils ont vraiment ou pas perdu du pouvoir d’achat : ils voient les prix qui montent et ils trouvent ça suspect, ils se sentent en insécurité.

Après c’est peut-être à eux de s’informer et de ne pas avoir peur d’une certaine montée des prix en quantitatif. Comme dit Jean, il est peut-être temps qu’ils deviennent “adultes” en allant chercher la vérité. Ce n’est pas mon avis. Je suis pour rendre les choses les plus simples et intuitives possibles ; rassurer les gens au maximum tout en restant à peu près dans le vrai.